La calculadora Wiris
 Actividad 2 Ecuaciones y sistemas (I)
  
Enrera        
         glossari

En esta actividad se da una primera visión de la potencia de la calculadora Wiris aplicada a la resolución de ecuaciones. Se comentan los puntos siguientes:

  • iconos para plantear ecuaciones o sistemas
  • el comando resolver aplicado a ecuaciones o a sistemas
  • el comando raíces, de aplicación para ecuaciones polinómicas
  • métodos numéricos de resolución: comando resolver_numéricamente

 

1. Introducción
   
  En la barra de herramientas tenemos dos botones útiles para escribir los comandos que hemos comentado en el apartado anterior, dibujar(  ) y representar(  ) y, a su lado, observamos dos nuevos botones que corresponden al comando resolver(  ) y que, aunque el comando va a ser el mismo, nos preparan adecuadamente el terreno para una aplicación fácil ya sea para la resolución de ecuaciones ya sea para la de sistemas de ecuaciones.
   
 
 
Botones para los comandos que se comentan en la actividad anterior y en ésta
   
 

Poner en marcha la Wiris Engega la Wiris y clicar primero sobre el botón resolver ecuación y después sobre el de resolver un sistema, indicando 3 ecuaciones en el pop-up que aparece. Comprobaréis que, de esta forma, se escribe "automáticamente" el planteo adecuado para la resolución de lo que interese, siempre con el comando resolver.

   
 

Nota: Ya se ha comentado que en versiones anteriores de la Wiris era imprescindible usar el signo de igualdad condicionada o doble igual para las ecuaciones. Aunque con toda seguridad la posibilidad de usar el igual sencillo representa un avance importante a nivel pràctico, pensamos que a nivel conceptual es muy interesante la distinción y por ello (y para recordar que lo podéis encontrar en actividades elaboradas anteriormente) se ha mantenido el == en estos materiales.

   
  Con la ejecución del comando resolver aplicado a una ecuación o a un sistema la Wiris intenta en primer lugar encontrar todas las soluciones mediante procedimientos exactos (a notar que para determinados tipos de ecuaciones está en estudio la incorporación de nuevos métodos). Después de esta fase se intenta acabar el trabajo con procedimientos aproximados de gran potencia que, en el caso de los polinomios, permiten obtener todas las soluciones... pero existen muchas ecuaciones que no permiten encontrar su solución con estos métodos y entonces el comando resolver contesta { }. Esto no quiere decir "no hay solución" sinó "no he podido encontrar solución". Si esto ocurre será el momento de acudir al comando resolver_numéricamente.
 
2. El comando resolver aplicado a ecuaciones
   
 

La explicación del procedimiento para resolver ecuaciones de una variable es sencillo:

  • Hay que escribir el comando resolver y, entre parèntesis, la expresión de la ecuación que queremos resolver, con la precisión que ya se ha hecho sobre el signo de igualdad condicionada.
  • Ahora bien, en la barra de herramientas de la Wiris tenemos un botón (en la carpeta activa inicialmente) que avanza en la formulación ya que...
    • Ya presenta escrito el comando resolver
    • Ya están preparados los paréntesis y el igual para la igualdad condicionada, idea paradigmática en una ecuación.
    • Sólo hace falta que en cada caja escribáis uno de los términos de la ecuación sabiendo que podéis pasar de una caja a la otra con las teclas de cursor.

Para empezar la práctica os proponemos algunas ecuaciones de primer grado, que os permitirán observar los distintos tipos de respuesta.

Nota: las fórmulas de las tres ecuaciones propuestas son muy parecidas; puede ser un buen momento para practicar "cortar y pegar" y luego modificar.

        

Algunas observaciones:

  • Podemos escribir una expresión matemática en el comando resolver. Entonces se resuelve la ecuación que resulta de igualar a cero esta expresión


  • Las soluciones que nos da el comando resolver son las soluciones reales de la ecuación que puede encontrar el programa por los potentes métodos que tiene incorporados.

  • En el caso de ecuaciones polinómicas el comando resolver nos da todas las raíces reales pero además disponemos del comando raíces que se comenta en otro apartado.

  • En el caso que no exista un método estándard para encontrar la solución "exacta" de una ecuación (podemos añadir el comentario: aunque "a ojo" veamos que la tiene, por ejemploque tiene como una solución x=2 aunque la Wiris "no la sabe ver") hay que saber que disponemos del comando resolver_numéricamente que busca una solución aproximada. Este comando se comenta en otro apartado y hay que decir que está en preparación una mejora de las prestaciones del comando resolver aplicado a ecuaciones trigonométricas.

  • ¿Podemos despejar una variable en función de otra u otras en ecuaciones con más de una variable?
    La respuesta es afirmativa, ya que el comando resolver también se puede aplicar en este caso. Hay que indicar cuál es la variable que queremos despejar. Dos ejemplos:

 
3. Ecuaciones polinómicas
   
  Ya hemos comentado que en el caso de ecuaciones polinómicas la calculadora Wiris nos da todas las soluciones reales (y ya sabéis que en muchos casos serán soluciones aproximadas, naturalmente). Todos los procedimientos que permiten encontrar las soluciones de una ecuación polinómica, es decir las llamadas raíces del polinomio están incorporadas al comando raíces que, además, nos permite decidir si queremos, como es habitual las raíces reales o en el cuerpo de los números complejos (opción que tendrá interés si conocéis o estudiáis este conjunto de números; si no es así, no hace falta que tengáis en cuenta esta opción). Probarlo:

     
   
 

Es conocido el hecho que el cálculo de las raíces de un polinomio es equivalente a su descomposición en factores. Por esta razón el comando factorizar encaja también en este apartado y también se puede aplicar en el campo complejo.

A continuación tenéis una ventana activa para revisar lo que se acaba de comentar e introducir el apartado siguiente.
(Véase que la ventana se da sin la barra de herramientas; recordar que con el botón derecho del ratón la podéis hacer aparecer; del mismo modo podéis hacer visible la ventana de errores para leer los comentarios cuando la Wiris nos da un mensaje de error y marca una línea de color.)

 
   
 

En la pantalla anterior aparece un ejemplo de lo que se puede hacer en el caso que el comando resolver no encuentre soluciones de una ecuación.
Se puede siempre acudir a métodos gráficos o bien continuar con la búsqueda de soluciones con otros métodos numéricos, incorporados en el comando resolver_numéricamente que buscan una solución aproximada. Notar que el último ejemplo no se resuelve «exactamente» pero sí numèricamente...

 
4. El comando resolver_numéricamente para ecuaciones
   
 

Este comando, que acabamos de presentar en la ventana activa, aplica un método de iteración propio del programario de la Wiris para la búsqueda de una solución aproximada de la ecuación planteada.

Algunos aspectos que conviene tener en cuenta:

  • Hay que escribir el comando resolver_numéricamente, y, entre paréntesis, la expresión de la ecuación que queremos resolver; actualmente se puede usar el signo , aunque también funciona naturalmente el igual de ecuación que también se puede escribir con )

  • Si se escribe el comando "a mano", cuando el segundo miembro de la ecuación es un 0 no es necesario escribir resolver_numéricamente(expresión==0)sinó que basta con poner resolver_numèricamente(expresión)

  • Si queréis usar el icono para plantear una resolución numérica sólo habrá que añadir _numéricamente entre resolver y el paréntesis.

Es importante remarcar la diferencia fundamental entre uno y otro comando:

  • El comando resolver busca todas las soluciones de una ecuación
  • En cambio el comando resolver_numéricamente busca una solución aproximada

Y unos comentarios "imprescindibles":

  • Recordar que si el comando resolver da como respuesta{ } ello quiere decir que no se ha encontrado ninguna solución con los métodos que el procedimiento tiene incorporados; en ningún caso hay que pensar necesariamente que signifique que "la ecuación no tiene solución"

  • Análogamente , como una cuestión inherente a los métodos iterativos, hay que saber que si resolver_numéricamente nos da un mensaje de error esto no significa que la ecuación planteada no tenga solución sinó que el método aplicado no ha convergido.

  • Dado que resolver_numéricamente aplica un método iterativo con unas condiciones iniciales establecidas por defecto, automáticamente, cuando se encuentra una solución no siempre será «la que nos interesa».
    Tenéis un ejemplo claro en la ecuación que se ha resuelto numéricamente en la pantalla de trabajo que hemos propuesto. Si se pregunta una solución de 2x == x + 5 junto con el comentario "pensar un poco: ¡seguro que la encontráis!"... ¿verdad que se ve otra solución que no es la que nos da la Wiris? ¿Cómo se puede proceder para intentar localizar otra solución? Además de recurrir a la visión gráfica, el tema de ampliación que tenéis al final de la actividad responde a esta cuestión.
5. Resolución de sistemas de ecuaciones
   
 

El comando resolver, que ya conocéis, busca también la solución (o todas las soluciones, si ha lugar) de un sistema de ecuaciones. Daros cuenta de la flexibilidad que permite la potencialidad de la Wiris de que un mismo comando pueda realizar diversas acciones:

  • si resolver recibe como argumento una ecuación, busca todas sus soluciones
  • si recibe como argumento una expresión, resuelve la ecuación que resulta de igualar a cero esta expresión
  • si recibe como argumento una lista vertical de ecuaciones busca todas las soluciones del sistema que formen estas ecuaciones
  • si recibe como argumento una lista vertical de expresiones busca las soluciones del sistema que forman las ecuaciones que resultan de igualar a cero todas y cada una de las expresiones.
  • ...y aún veremos en una actividad posterior que puede recibir como argumento una matriz y un vector, adoptando así el punto de vista matricial de los sistemas de ecuaciones.

Es posible que penséis: ¿Cómo se escribe una lista vertical?

  • Para escribir una lista vertical disponemos del botón en la barra de herramientas, que está acompañado de una ventana donde se puede escribir el número de filas que queremos que tenga la lista.

Pero para plantear un sistema de ecuaciones ya hemos visto que...

  • ...tenemos la posibilidad de clicar en , otro botón de la barra de herramientas. Esta opción es la más recomendable. Ya se ha comentado en la introducción que de esta manera se escribe en el área de trabajo el comando
                                                     
    y esto facilita nuestra tarea: ya tenemos preparada la sintaxis adecuada, con los signos de igual para las ecuaciones y la lista vertical. Podréis desplazaros de una caja a otra donde hay que escribir las ecuaciones con las teclas habituales de movimiento del cursor.
    • Nota 1: Daros cuenta que, aunque el icono se muestre como para las ecuaciones y para los sistemas, el comando es, siempre, resolver.
    • Nota 2: La ventana de menú con el número de filas se aplica también al número de ecuaciones con que se plantea un sistema.

  • Si, cuando ya tenéis un sistema planteado, os dáis cuenta que os interesa un sistema con un número diferente de ecuaciones, necesitaréis el menú de la barra de herramientas para insertarlas o suprimirlas.
                                                 

Vamos a practicar un poco con la resolución de sistemas.

  • Poner en marcha la Wiris Engega la Wiris, escribir el sistema de ecuaciones
                                             
    y hacer que la Wiris lo resuelva
  • Seguidamente modificarlo añadiendo una fila para obtener
                                             
    y, a la vista de la respuesta de la Wiris, cambiar el 7 de la última ecuación por otro número para que que el sistema tenga solución.
  • Finalment, plantear un sistema indeterminado (el que podéis ver a continuación u otro cualquiera) y observar cómo se dan las soluciones.
                                             

Ahora observar la pantalla activa que tenéis más abajo, en la cual se plantean nuevos ejemplos:

  • Veréis que el primer bloque de comandos plantea un "ejercicio típico" que más adelante retomaremos desde el punt de vista gràfico:
    • Calcular los puntos de intersección de las gráficas de les funciones y = f(x) e y = g(x).

  • También veréis que se comenta el uso del comando resolver_numéricamente aplicado a sistemas de ecuaciones.

Como siempre, es interesante que investiguéis con vuestros propios ejemplos.

   
 

   

 
   
 
  • Conviene insistir en el hecho que si resolver/resolver_numéricamente responden { } o bien nulo quiere decir que por los métodos que tienen incorporados no se ha encontrado solución, ¡no quiere decir que no la haya! Asimismo, si numéricamente se encuentra solución, la Wiris sólo encontrará una, en función del punto donde empiezan las iteraciones.

  • En muchas situaciones será interesante poder usar las soluciones de un sistema (o de una ecuación) en cálculos posteriors... naturalmente de manera «automática» (ya que si lo que queremos es observarlas y escribirlas "a mano" siempre estaremos a tiempo). Esta posibilidad se comentará en una próxima actividad.
   
  Igual que se ha hecho para las ecuaciones de varias variables, conviene conocer la sintaxis adecuada para indicar a la Wiris, en el caso de un sistema indeterminado, cuáles son las variables que queremos despejar (las podemos llamar variables fundamentales; hay tantas como indica el rango del sistema) y las otras pasarán a ser variables libres (que a veces se conocen como parámetros y podemos darles valores cualesquiera; hay tantas como grados de libertad tenga el sistema; en función de éstas se expresarán las variables fundamentales.)

¿Cuál es la manera más rápida de escribir lo que nos pide esta sintaxis?

  • Podemos comenzar con el icono y escribir el sistema
  • Y cuando ya tengamos el sistema escrito modificaremos el comando para incluir las variables fundamentales, actuando como se indica en la siguiente imagen:
             

Podéis abrir una pantalla con ejemplos Ampliació y, naturalmente, conviene que hagáis más pruebas.

Con los ejemplos trabajados en la pantalla anterior ya habréis podido observar que:

  • Por defecto la Wiris decide "por orden alfabético" tantas variables fundamentales como haga falta
  • Si en el comando ponemos más variables fundamentales que las que corresponden, la Wiris escogerá algunas de ellas en número adecuado
  • Si, en cambio, pasamos como argumento al comando menos variables fundamentales que las que son necesarias, la Wiris nos dirá que no encuentra solución.
 
6. ¡No hay que olvidar la visión gráfica!
   
 

Acabaremos esta actividad con una reflexión: si diponemos de una potente calculadora gráfica, como la Wiris, la representación de las gráficas de la función o de las funciones que intervengan en la ecuación o ecuaciones que nos interesen puede ayudarnos a encontrar una solución aproximada.

  • Ecuación f(x) = 0. Se dibujará la función f y se intentarán observar con la mayor aproximación posible (con ayuda de ) los puntos de corte de la gráfica con el eje de las x.
  • Ecuación f(x) = g(x) o, equivalentemente, sistema y = f(x), y = g(x). Se dibujarán las funciones f y g y se observarán los puntos de corte.
  • Sistema f(x,y) = 0, g(x,y) = 0. En esta situación (a no ser que las funciones sean polinómicas de segundo grado, en cuyo caso se encontrarán las soluciones con el comando resolver) se deberá procurar despejar y en cada una de las ecuaciones y reducirse al caso anterior.

Si os interesa, podéis ver ejemplos. Ampliació

   
 
Amunt
Ejercicios
 
  1. a. Escribir diversas ecuaciones de segundo grado y ver cómo da la respuesta la Wiris en caso de dos soluciones, de una o de ninguna.
    b. Escribir sistemas de dos ecuaciones polinómicas de segundo grado en dos variables como por ejemplo   y buscar casos que no tengan solución, que tengan una, dos, tres,...
    ¿Cuántas soluciones puede tener como máximo un sistema como los planteados?
 
  1. Encontrar con la máxima aproximación posible todas las soluciones de la ecuación
    2004x = 2005x+2006
 
  1. a. Escribir un sistema lineal de cinco ecuaciones diferentes con tres incógnitas que sea compatible determinado y encontrar su solución con la Wiris.
    b. Lo mismo pero de forma que el sistema sea indeterminado.
    c. Ahora escribir un sistema lineal de dos ecuaciones y cuatro incógnitas "al azar". ¿Cuál os parece que será el carácter de este sistema? Comprobarlo con la Wiris.
    d. Finalmente escribir, si es posible, un sistema lineal de dos ecuaciones y cuatro incógnitas que sea incompatible. Plantearlo a la Wiris y observar cómo da la solución.
   
 
Amunt
Unas ideas de ampliación
   
 
  • Podéis conocer más posibilidades del trabajo con el comando resolver_numéricamente y conocer los métodos que aplica. El icono Ampliació abrirá una pantalla activa donde se explican opciones que se pueden pasar como argumentos y que nos dan la posibilidad de encontrar soluciones diferentes de la que nos da, por defecto, el comando indicado.
 
Amunt